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一、知识要点：
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。
定理1 ax^2+bx+c=0(a≠0)中，Δ>0方程有两个不等实数根
定理2 ax^2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0方程有两个相等实数根
定理3 ax^2+bx+c=0(a≠0)中，Δ<0方程没有实数根
2、根的判别式逆用(注意：根据课本“反过来也成立”)得到三个定理。
定理4 ax^2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数根Δ>0
定理5 ax^2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根Δ=0
定理6 ax^2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根Δ<0
注意：(1)再次强调：根的判别式是指Δ=b2-4ac。(2)使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。(3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。(4)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0
二.根的判别式有以下应用：
不解一元二次方程，判断根的情况。
例1. 不解方程，判断下列方程的根的情况：
(2)ax^2+bx=0(a≠0)
解：
(2)∵a≠0, ∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，
∵Δ=(-b)2-4·a·
∵无论b取任何关数，b2均为非负数，
∴Δ≥0， 故方程有两个实数根。
根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
例2.k的何值时?关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)没有实数根;
分析：由判别式定理的逆定理可知(1)Δ>0;(2)Δ=0;(3)Δ<0;
解：Δ=(-4)2-4·
(1)∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ>0，即36-4k>0.解得k<
(2)∵[!--empirenews.page--]方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=0，即36-4k=0.解得
(3)∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ<0，即36-4k<0.解得
证明字母系数方程有实数根或无实数根。
例3.求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。
分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。
证明： Δ=-4(m2+2)2
∵不论m取任何实数
∴ -4(m2+2)2<0, 即Δ
∴关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。
小结：由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤：
(1)计算Δ
(2)用配方法将Δ恒等变形
(3)判断Δ的符号
(4)结论.其中难点是Δ的恒等变形，一般情况下配方后变形后为形如：a2,a2+2,(a2+2)2, -a2, -(a2+2)2的代数式，从而判定正负，非负等情况。
应用根的判别式判断三角形的形状。
例4.已知：a、b、c为ΔABC的三边，当m>0时，关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2[!--empirenews.page--]ax=0有两个相等的实数根。求证ΔABC为RtΔ。
(提示：答案为ΔABC为RtΔ)
判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式
例5、(1)若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式则k的值可能是( )
(2)若关于a的二次三项式ka2+4a+1是一个完全平方式则k的值可能是()
分析：可以令二次三项等于0，若二次三项是完全平方式，则方程有两个相等的实数根。即Δ
解：(1)
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=k2-4×16×
∴k=+40或者
(2)
∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=16-4k=0 ∴
可以判断抛物线与直线有无公共点
例6:当m取什么值时，抛物线与直线y=x+2m只有一个公共点?
解:列方程组消去y并整理得
，∵抛物线与直线只有一个交点，
∴Δ=0，即 4m+5=0 ∴
说明：直线与抛物线的交点问题也可归纳为方程组的解的问题。
可以判断抛物线与x轴有几个交点
分析：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点 (1)当y=0时，即有ax2+bx+c=0，要求x的值，需解一元二次方程ax2+bx+c=0。可见，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况确定的，而决定一元二次方程ax[!--empirenews.page--]2+bx+c=0的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形：
当时，抛物线与x轴有两个交点，若此时一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则抛物线与x轴的两个交点坐标为(x1，0)(x2，0)。
当时，抛物线与x轴有唯一交点，此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是()。
当 时，抛物线与x轴没有交点。
例7、判定下列抛物线与x轴交点的个数：
(1) (2) (3)
解：(1)Δ=16-12=4>0 ∴抛物线与x轴有两个交点。
(2)Δ=36-36=0 ∴抛物线与x轴只有一个公共点。
(3)Δ=4-16=-12<0 ∴抛物线与x轴无公共点。
例8、已知抛物线
(1)当m取什么值时，抛物线和x轴有两个公共点?
(2)当m取什么值时，抛物线和x轴只有一个公共点?并求出这个公共点的坐标。
(3)当[!--empirenews.page--]m取什么值时，抛物线和x轴没有公共点?
解：令y=0，则 Δ=
(1)∵抛物线与x轴有两个公共点， ∴Δ>0，即 – 4m+8>0 ∴
(2)∵抛物线和x轴只有一个公共点， ∴Δ=0，即 –4m+8=0 ∴
当m=2时，方程可化为，解得x1=x2= -1，∴抛物线与x轴公共点坐标为(-1,0)。
(3)∵抛物线与x轴没有公共点， ∴Δ<0，即 -4m+8<0， ∴
∴当m>2时，抛物线与x轴没有公共点。
利用根的判别式解有关抛物线(Δ>0)与x轴两交点间的距离的问题
分析:抛物线 (Δ>0)与x轴两交点间的距离，是对应的一元二次方程 [!--empirenews.page--]的两根差的绝对值。它有以下表示方法：
例9: 求当a为何值时?二次函数 图象与x轴的两个交点间的距离是3。
(参考：图象与x轴两个交点间的距离是3)
希望以上为大家分享的GMAT数学考点一元二次方程知识点，能够对大家更好的进行GMAT数学的备考有帮助。
